Как решать текстовые задачи
Мы называем текстовыми задачи, задачи на составление уравнений. Решение задач на составление уравнений (или систем уравнений) обычно осуществляется в три этапа:
- выбор неизвестного обозначаемого, как правило, через х (или нескольких неизвестных, обозначаемых х, у, z…), и составление уравнения, связывающего некоторой зависимостью выбранные неизвестные с величинами, заданными условием задачи;
- решение полученного уравнения (или системы уравнений);
- отбор решений по смыслу задачи.
Ниже мы рассмотрим основные типы “текстовых” задач:
- задачи на работу,
- задачи на структуру числа,
- задачи на мах, min,
- задачи на проценты,
- задачи на движение,
- задачи на прогрессию,
и выделим основные особенности и характерные приемы их решения.
Задачи на работу
В задачах на работу полезно выделить 3 величины:
n – производительность,
t – время выполнения работы,
А – объем всей работы.
Они связаны между собой следующим образом:
А= t • n
Все задачи на работу можно разделить на 2 типа
I тип (когда вся работа известна)
1. Одна мастерская должна была сшить 810 костюмов, а другая за тот же срок должна была сшить 900 костюмов; первая закончила выполнение заказа за 3 дня до срока, а вторая за б дней до срока. По сколько костюмов шила каждая мастерская, если вторая мастерская шила в день на 4 костюма больше первой ?
Решение:
I мастерская
n1 = x кост./день
A1 = 810 кост.
t1 = A1/n1 = 810/х дней
(t1 + 3) дней – время выполнения работы.
II мастерская
n2 = (x+4) кост./день
A2 = 900 кост.
t2 = A2/n2 = 900/(х+4) дней
(t2 + 6) дней – время выполнения работы.
Таким образом, t1 + 3 = t2 + 6 или
810/x +3 = 900/(x+4)+6
810/x – 900/(x+4) = 3/ – умножаем на x(x+4) x≠0, x≠4
810(x+4)-900x=3x(x+4)
После упрощений получаем квадратное уравнение:
x2 + 34x – 1080 = 0
x1 = 20
x2 = -54/посторонний корень
Ответ: 20 костюмов в день шила I мастерская.
24 костюма в день шила II мастерская.
2. Ученик токаря вытачивает шахматные пешки для определенного числа комплектов шахмат. Если он будет изготовлять ежедневно на две пешки больше, то тогда такое же задание он выполнит на 10 дней раньше. А если он будет изготовлять в день на четыре пешки больше, то тогда такое же задание он выполнит на 16 дней раньше. Сколько комплектов шахмат обеспечивает пешками этот токарь, если для каждого комплекта требуется 16 пешек ?
\begin{cases} (x + 2)(y – 10) = xy \\ (x + 4)(y – 16) = xy \end{cases}
\begin{cases} xy + 2y – 10x – 20 = xy \\ xy + 4y – 16x -64 = xy \end{cases}
\begin{cases} 2y – 10x = 20 \\ 4y – 16x = 64\end{cases}
– умножаем первое уравнение на 2
\begin{cases} 4y – 20x = 40 \\ 4y – 16x = 64 \end{cases}
Вычитая из 1-го уравнения системы 2-ое уравнение получим:
\begin{align} -4x = -24 \end{align}
\begin{align} x = 6 \end{align}
\begin{align} 2y -10 * 6 = 20 \end{align}
\begin{align} -4x = -24 \end{align}
\begin{align} x = 26 \end{align}
\begin{align} 2y -10 * 6 = 20 \end{align}
\begin{align} 2y = 80 \end{align}
\begin{align} y = 40 \end{align}
\begin{align} xy = 40 * 6 = 240 \end{align}
\begin{align} {240 \over 16} = 15 \end{align}
