Лекция №3. Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Определение: Система m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде имеет следующий вид:

(1)

где x₁, x₂,…, x_n – неизвестные, подлежащие определению, a₁₁,…, a_mn – коэффициенты системы, b₁, b₂,…, b_m – свободные члены.

Если все свободные члены b₁, b₂,…, b_m – равны нулю, то система называется однородной.

Система (1) называется квадратной, если число уравнений m равно числу неизвестных, т.е. m=n.

Определение: Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (с₁, с₂,…, с_n), которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных x₁, x₂,…, x_n обращает все уравнения этой системы в верные числовые тождества.

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Пример: Система уравнений:

является несовместной. 

Систему уравнений удобно записывать в матричном виде.

Пусть

– матрица коэффициентов.

– столбец неизвестных.

– столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

A∙X=B (2)

Определение: Система линейных уравнений (1) называется невырожденной, если m=n и det⁡ A≠0, где A=(a_ij ).

Теорема 1 (формулы Крамера): Всякая невырожденная система линейных уравнений имеет единственное решение (с₁,…, с_n) вида с_i=∆_i/∆ , где ∆ – определитель матрицы A – коэффициентов системы, а ∆_i – определитель матрицы, которая получается из матрицы A заменой ее i-го столбца на столбец свободных членов.

Лемма. Для любой квадратной матрицы A=(a_ij) размерности n выполняется равенство:

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Теорема 2. Пусть A=(a_ij) квадратная матрица порядка n и |A|≠0. Тогда

,

где A_ij – алгебраические дополнения к элементу a_ij матрицы A.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений примера 1 в матричном виде:

A∙X=B

X=A^-1∙B

Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Пусть система имеет вид:

(1)

Опр. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица размерности n на n+1 вида:

Опр. Элементарные преобразования расширенной матрицы:

• перестановка двух строк матрицы;
• умножение строки матрицы на любое число и прибавление к другой строке;
• умножение строки матрицы на число отличное от нуля;
• перестановка двух столбцов матрицы (без участия последнего столбца).

Утверждение. При элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы линейных уравнений множество решений системы не меняется.
Метод Гаусса состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы получить в результате вычислений матрицу вида:

Матрицей С задается система линейных уравнений, эквивалентная исходной, т.е. с тем же множеством решений. При этом для новой системы решения легко вычисляются и описываются.
Пример: Решить систему методом Гаусса: