Лекция №4. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Пусть имеется матрица A=(aij) квадратная порядка n и |A|0.
С помощью элементарных преобразований строк матрицы A приводим ее к единичной матрице.
Тогда это можно записать в виде:

B∙A=E     (1)

Такая матрица B обязательно найдется (используем леммы).
Умножая равенство (1) на 𝑨−𝟏 справа получим:

𝑩∙(𝑨∙𝑨−𝟏) = 𝑨−𝟏
𝑨−𝟏= 𝑩

Поэтому, если рассмотрим блочную матрицу:

A = (A|E),

тогда при элементарных преобразованиях над матрицей A^′ получим матрицу:

(BA|BE)=(E|A−𝟏)

 Элементарными преобразованиями строк называются следующие:

  • умножение строки матрицы на число отличное от нуля;
  • умножение строки матрицы на число и прибавление к другой строке;
  • перестановка двух строк матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы A с помощью элементарных преобразований:

 

Линейное пространство

Определение. Множество L элементов x, y, z,… любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнено следующее:

I.Имеется правило, по которому любым двум элементам x и y множества L ставиться в соответствие элемент z ∈ L , который называется суммой элементов x и y и обозначается символом x + y;

II.Имеется правило, по которому любому элементу x L и любому вещественному числу λ R ставиться в соответствие элемент u ∈ L, который называется произведением элемента x на число λ и обозначается λx=u;

III.Указанные операции, подчинены следующим 8 аксиомам:

  1. x+y = y+x (коммутативность);
  2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность);
  3. Существует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = x для xϵL;
  4. Для xϵL существует противоположный элемент x такой, что x+x=0 (будем обозначать x=x)
  5. 1x=x для xϵL;
  6. λ(μ∙x)=(λμ)x  для xϵL и ∀λ,  μϵR  ассоциативность умножения на число;
  7. +μ)x=λx+μx для xϵL и λ,  μϵR;
  8. λ(x+y)=λx+λy для ∀λϵR и x,  yϵL;

7 и 8 аксиомы дистрибутивности.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Множество всех векторов в трехмерном пространстве.

Пример 2. Рассмотрим множество An, элементами которой служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел (x1, x2,…,xn), т.е. An={(x1, x2,…,xn)|x1ϵR, x2ϵR,…, xnϵR}

(x1, x2,…,xn)+(y1, y2,…,yn)=(x1 + y1, x2 + y2,…,xn + yn)

λ (x1, x2,…,xn)=(λx1, λx2,…,λxn)

Легко проверить справедливость аксиом 1 – 8.

Пример 3. Рассмотрим множество C=[a,b] всех функций x=x(t) определенных и непрерывных на отрезке [a,b]. Операции сложения таких функций и умножения на число определим обычными правилами математического анализа

(f+g)(x)=f(x)+g(x) и (λf)(x)=λf(x).

Легко проверить, что C=[a,b] является линейным пространством.

Простейшие свойства линейных пространств

Теорема 1. В произвольном линейном пространстве L существует единственный нулевой элемент и для каждого xϵL существует единственный противоположный элемент.

Теорема 2. В произвольном линейном пространстве L:

1)для всех xϵL       0x=0;

2)для всех xϵL       -x=(-1)x, т.е. для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число -1.

Линейная зависимость

Рассмотрим произвольное линейное пространство L с элементами x, y, z,…, которые будем называть векторами.

Определение. Вектор y называется линейной комбинацией векторов x1, x2,…,xn, если существуют такие числа λ1, λ2,…,λn, что

Определение 1. Система векторов x1, x2,…,xn называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов. В противном случае система векторов x1, x2,…,xn называется линейно независимой.

Пример. Если x1 = (1,2,4), x2 = (-1,3,2), x3 = (0,5,6), то вектора x1, x2, x3 – линейно зависимы, т.к. x3 =x2 + x2.

Определение 2. Система векторов x1, x2,…,xn называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2,…,λn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация:

является нулевым элементом пространства L.

Систему векторов x1, x2,…,xn будем называть линейно независимой, если она не является зависимой. По законам логики запишем отрицание определения 2.

Определение Система векторов x1, x2,…,xn называется линейно независимой, если для любой линейной комбинации  равной нулю, все числа λ1 = λ2 =…= λn = 0 равны нулю.

Теорема 3. Система векторов x1, x2,…,xn линейно зависима по определению 2, если и только если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов.

Теорема 4. Если система векторов x1, x2,…,xn линейно независимой, то и всякая ее подсистема также линейно независима.

Базис пространства

Определение: система векторов e1, e2,…,en пространства L называется базисом этого пространства, если:

  1. система векторов e1, e2,…,en линейно независима;
  2. для всякого элемента x∈L существуют числа a1, a2,…,an такие, что

x = a1e1 + a2e2+…+anen (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента x по базису e1, e2,…,en, а числа a1, a2,…,an – называются координатами вектора x (относительно базиса e1, e2,…,en).

Теорема 1. При сложении двух любых элементов линейного пространства L их координаты (относительно любого базиса пространства L) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число λ все координаты этого элемента умножаются на λ.

Определение. Линейное пространство L называется n – мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства L ( и обозначается символом dim⁡ L=n).

Определение. Линейное пространство L называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 1. При сложении двух любых элементов линейного пространства L их координаты (относительно любого базиса пространства L) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число λ все координаты этого элемента умножаются на λ.

Определение. Линейное пространство L называется n – мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства L (и обозначается символом dim⁡ L = n).

Определение. Линейное пространство L называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 2. Если L – линейное пространство размерности n, то любые n – линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Рассмотрим произвольную (необязательно квадратную) матрицу A=(aij) размерности m на n.

Определение. Минором k-го порядка матрицы A называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k – фиксированных строк и k – столбцов матрицы A (k≤min⁡{n,m}).

Определение. Число r называется рангом матрицы A (будем обозначать rang A = r), если выполняются два условия:

  1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, отличный от нуля;
  2. всякий минор (r + 1)-го и более высокого порядка (если таковые существуют) равен нулю.

Такой минор r-го порядка матрицы A, отличный от нуля, называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых  расположен базисный минор, называются базисными.

0 0 голоса
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии