Лекция №5. Способы вычисления ранга матрицы

Метод окаймления миноров

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор  k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие минор D (т.е. содержащие его целиком внутри себя): если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример. Найти ранг матрицы:

Метод элементарных преобразований

Теорема 3 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы A являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Теорема 4. Определитель n-го порядка равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Следствие. Ранг произвольной матрицы A равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A.

Условие совместности системы линейных уравнений

Теорема 5 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы A равен рангу расширенной матрицы , в которой к матрице A добавлен столбец свободных членов.

Путь отыскания всех решений системы линейных уравнений

1.Находим rang A и .

Если rang A, то система несовместна.

Если rang A=, то находим базисный минор матрицы A.

2.Оставляем в системе только те уравнения, коэффициенты которых входят в базисный минор:

3. Оставляем в левой части только те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные переменные переносим в правую часть и объявляем свободными переменными:

4. Решаем квадратную невырожденную систему (2) относительно свободных переменных, как параметров:

Тогда (f1 (xr+1, … ,xn), … ,fr (xr+1, … ,xn), xr+1, … ,xn) – общее решение системы линейных уравнений, xr+1, … ,xn принимают произвольные значения.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

0 0 голоса
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии