Лекция №5. Способы вычисления ранга матрицы
Метод окаймления миноров
При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие минор D (т.е. содержащие его целиком внутри себя): если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Пример. Найти ранг матрицы:
Метод элементарных преобразований
Теорема 3 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы A являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Теорема 4. Определитель n-го порядка ∆ равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.
Следствие. Ранг произвольной матрицы A равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A.
Условие совместности системы линейных уравнений
Теорема 5 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы A равен рангу расширенной матрицы 
, в которой к матрице A добавлен столбец свободных членов.
Путь отыскания всех решений системы линейных уравнений
1.Находим rang A и 
.
Если rang A≠, то система несовместна.
Если rang A=, то находим базисный минор матрицы A.
2.Оставляем в системе только те уравнения, коэффициенты которых входят в базисный минор:
3. Оставляем в левой части только те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные переменные переносим в правую часть и объявляем свободными переменными:
4. Решаем квадратную невырожденную систему (2) относительно свободных переменных, как параметров:
Тогда (f1 (xr+1, … ,xn), … ,fr (xr+1, … ,xn), xr+1, … ,xn) – общее решение системы линейных уравнений, xr+1, … ,xn принимают произвольные значения.
Пример. Решить систему линейных уравнений:
