Лекция №6. Линейное подпространство

Пусть U подмножество линейного пространства L и выполняются два условия:

1. если x и y принадлежат U, то и x + y принадлежит U (U – замкнуто относительно операции сложения элементов);
2. если x принадлежит U, а λ – любое вещественное число, то λ∙x принадлежит U (U – замкнуто относительно умножения на число).

Тогда U называется линейным подпространством пространства L.

Легко проверить, что такое U само является линейным пространством.

Примеры линейных подпространств

1. Для любого линейного пространства L линейные подпространства U={0} и U=L.
2. Подмножестве {P_n (t)│– всех многочленов степени ≤n} подпространство в C[a,b] непрерывных функций, определенных на [a,b].
3. Множество всех векторов на плоскости, параллельных заданной прямой.
4. Линейная оболочка

L(x,y) = {λ₁x+λ₂y│x,y – элементы некоторого пространства L}.

1.Пусть x ̃=(1;0), y ̃=(3;0), L(x ̃,y ̃ )⊂ A²={(x,y)│x,y∈R}.

2.Пусть l₁= 1, l₂= t, l₃=t², L(l₁, l₂, l₃).

Возникает вопрос о размерности подпространства U⊂L.

Теорема 1. Если линейное пространство L имеет базис, состоящий из n – элементов, то dim⁡ L=n.

Следствие. Если U⊂ L линейное подпространство в L, dim⁡ L=n и U≠L, то dim⁡ U<n.

Операции над подпространствами

Определение. Пусть L₁, L₂ линейные подпространства в L. Суммой подпространств L₁ и L₂ называется подпространство (будем обозначать L_1 + L_2) такое, что

L₁+L₂={x+y│x∈ L₁ и y∈ L₂}

Определение. Пусть L₁, L₂ линейные подпространства в L. Пересечением подпространств L₁ и L₂ называется подпространство (будем обозначать L₁∩L₂) такое, что L₁∩L₂ = {x│x∈L₁ и x∈L₂}.
Эти операции можно обобщить на любое конечное число.
Пример. Пусть L линейное пространство и e₁, e₂,e₃ базис в L.  Если L₁ = L(e₁, e₂) и L₂=L(e₂,e₃), то L₁ + L₂= L, а L₁∩L₂ = L( e₂).