Лекция №6. Линейное подпространство

Лекция №6. Линейное подпространство

Пусть U подмножество линейного пространства L и выполняются два условия:

  1. если x и y принадлежат U, то и x + y принадлежит U (U – замкнуто относительно операции сложения элементов);
  2. если x принадлежит U, а λ – любое вещественное число, то λx принадлежит U (U – замкнуто относительно умножения на число).

Тогда U называется линейным подпространством пространства L.

Легко проверить, что такое U само является линейным пространством.

Примеры линейных подпространств

  1. Для любого линейного пространства L линейные подпространства U={0} и U=L.
  2. Подмножестве {P_n (t)│ всех многочленов степени n} подпространство в C[a,b] непрерывных функций, определенных на [a,b].
  3. Множество всех векторов на плоскости, параллельных заданной прямой.
  4. Линейная оболочка

L(x,y) = {λ1x+λ2y│x,y – элементы некоторого пространства L}.

1.Пусть x ̃=(1;0), y ̃=(3;0), L(x ̃,y ̃ ) A2={(x,y)x,y∈R}.

2.Пусть l1= 1, l2= t, l3=t2, L(l1, l2, l3).

Возникает вопрос о размерности подпространства UL.

Теорема 1. Если линейное пространство L имеет базис, состоящий из n – элементов, то dimL=n.

Следствие. Если U L линейное подпространство в L, dimL=n и UL, то dimU<n.

Операции над подпространствами

Определение. Пусть L1, L2 линейные подпространства в L. Суммой подпространств L1 и L2 называется подпространство (будем обозначать L_1 + L_2) такое, что

L1+L2={x+y│x∈ L1 и y∈ L2}

Определение. Пусть L1, L2 линейные подпространства в L. Пересечением подпространств L1 и L2 называется подпространство (будем обозначать L1∩L2) такое, что L1∩L2 = {x│x∈L1 и x∈L2}.
Эти операции можно обобщить на любое конечное число.
Пример. Пусть L линейное пространство и e1, e2,e3 базис в L.  Если L1 = L(e1, e2) и L2=L(e2,e3), то L1 + L2= L, а L1∩L2 = L( e2).

0 0 голос
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии