Лекция №8. Векторы, операции над векторами

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. множество точек прямой, заключенных между фиксированными точками A и B с указанием направлений (Будем обозначать ).

Определение. Длина вектора называется его модулем и будет обозначаться ||.

Вектор , начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его модуль равен нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение. Два вектора называются равными, если они параллельны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.

Линейные операции над векторами

1.Сложение векторов.

Определение. Суммой векторов и называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (обозначаем ).

Операция сложения векторов может быть распространена на любое конечное число слагаемых векторов.

Свойства операции сложения векторов:

(коммутативность);
(ассоциативность).

2. Вычитание векторов.
Определение. Разностью векторов и называется вектор , такой, что (обозначаем

Приложим к началу вектора начало вектора . Из конца вектора к концу вектора проводим вектор .

Умножение вектора на скаляр.

Определение. Произведением вектора на число λ называется вектор, параллельный вектору , направленный, как , если λ > 0, и противоположно, если λ < 0, и имеющий длину |λ|∙| | (обозначаем λ ∙ ).

Свойства произведения вектора на число.

1.∀λϵR, ∀kϵR и любого вектора .

λ ∙ (k ∙ )=(λ ∙ k) ∙ (ассоциативность умножения на число).

2.∀λϵR, ∀kϵR и любого вектора .

(λ+k)∙=λ+k(дистрибутивность относительно сложения чисел).

3.∀λϵR и любых векторов и .

λ( +)=λ .+λ .(дистрибутивность относительно сложения векторов).

Проекция вектора

Определение. Проекцией вектора на заданную ось l называется величина отрезка [N₁N₂], где N₁ и N₂ — проекции точек M₁ и M₂ на ось l (обозначаем ).