Программа анализа иерархий методом Саати

О методе анализа иерархий Т. Саати

Для принятия правильных управленческих решений и прогнозирование результатов нужно проанализировать достаточно сложную систему взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы,  цели и т.д.) Для решения подобных вопросов американским математиком Томасом Саати в 70-х гг. был разработан  один из методов анализа иерархий.
Часто объем информации компонент просто огромен и исследователь не может воспринимать ее в полном объеме. В таких случаях система, допустим цель которую хочет достичь организация, делится на более мелкие подсистемы в виде иерархии.

Иерархия – принцип структурной организации многоуровневых систем, состоящий в упорядочении взаимодействий между уровнями по закону от высшего к низшему и, наоборот, от низшего к высшему. Доминантная иерархия является одной из самых простых иерархий: 
 

Сущность метода Т. Саати

Метод анализа иерархий (МАИ) основан на положении о том, что любая проблема может быть структурирована в виде иерархии элементов, составляющих её суть. Вершиной иерархии является цель, достижение которой желательно. Промежуточные уровни – это критерии, от которых зависят последующие уровни. Критерии представляют собой совокупность объективных и субъективных факторов различного типа и степени важности. Эти факторы определяют вероятность или невозможность выбора одной из доступных альтернатив, перечень которых составляет низкий уровень иерархии.

 Схема определения конкурентоспособности продукции предприятия методом анализа иерархий:

После иерархического постановки проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы:

Конкурентоспособность продукции

Критерий 1Критерий 2Критерий n

Критерий 1

1

5

  

Критерий 2

1/5

1

  

  

1

 
Критерий n   

1

 

Элементом матрицы a (i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9. Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b, то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.

Количество матриц на каждом уровне равно количеству критериев на более высоком уровне.

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.

Шкала относительной важности критериев

Интенсивность относительной важности

Определение Объяснение

1

Равная важность

Равные вклады 2-х элементов в цель

3Умеренное превосходство одного элемента над другим

Опыт и суждение дают лёгкое превосходство одному элементу над другим

5

Существенное или сильное превосходство

Опыт и суждение дают сильное превосходство одному элементу над другим

7

Значительное превосходство

Одному элементу даётся настолько сильное превосходство, что оно становится практически значимым

9

Очень сильное превосходство

Очевидное превосходство одного элемента над другим подтверждается наиболее сильно

 

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

ИС = (l max – n)/(n – 1)

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы.

Ниже даны средние согласованности для матриц порядка от 1 до 10, элементы которых случайным образом были сгенерированы по шкале от 1 до 9 с соответствующими им обратными величинами.

Значения случайной согласованности

Размер матрицы

12345678910
Случайная согласованность001,580,91,121,241,321,411,45

1,49

 

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

Интуитивное обоснование метода

Допустим, что n видов действия или объектов рассматриваются группой экспертов. Предположим, что цели группы следующие:

1) высказать суждения об относительной важности этих объектов;

2) гарантировать такой процесс получения суждений, который позволит количественно интерпретировать суждения по всем объектам.

Для достижения второй цели потребуется соответствующий метод для получения из количественных суждений группы (т.е. из относительных величин, ассоциируемых с парами объектов) множества весов, ассоциируемых с отдельными объектами; в том смысле, который определен ниже, эти веса должны отражать количественные суждения группы. Благодаря такому подходу полученную из (1) и (2) информацию приводим в удобную форму без информационных потерь, свойственных качественным суждениям.

Пусть С1, С2,…, Сn – совокупность объектов (возможных действий). Количественные суждения о парах объектов (Сi, Cj) представляются матрицей размера N x N: A = (aij), (i,j = 1, 2,…, n).

Элементы aij определены по следующим правилам:

Правило 1. Если aij = b, то aji = 1/b, b < > 0.

Правило 2. Если суждения таковы, что Ci имеет одинаковую с Cj относительную важность, то aij = 1, aji = 1; в частности aij = 1 для всех i = j.

Матрица А имеет вид:

1

a12

a1n

1/a12

1

 

1/a2n

1/a1n

1/a2n

1

 

После представления количественных суждений о парах (Ci, Cj) в числовом выражении через aij задача сводится к тому, чтобы n возможным действиям C1, C2,…, Cn поставить в соответствие множество числовых весов w1, w2,…, wn, которые соответствовали бы зафиксированным суждениям.

Для того, во-первых, необходимо нечетко сформулированной задаче придать строго математическую форму. Этот существенный шаг является наиболее важным в любой задаче, в которой требуется представить жизненную ситуацию в терминах абстрактной математической структуры.

Условия того, что веса должны отражать количественные суждения группы, вызывает необходимость описания в точных, математических терминах,  каким образом зависят веса wi от aij. Другими словами, задача определения условий, которые накладываются на искомые веса, решается относительно полученных суждений. Необходимое описание проводится в три этапа, начиная от простейшего частного случая и заканчивая общим.

Этап 1. Предположим, что «суждения» – просто результат точных физических измерений. Пусть экспертам даны несколько камешков C1, C2,…, Cn и точные весы. Чтобы сравнить C1 и С2, на весы кладут С1 и считывают показания, скажем, w1 = 305 г. Затем взвешивают С2 и получают w2 = 244 г. Деление w1 на w2 дает 1,25. После этого эксперты высказывают суждение: «С1 в 1,25 раза тяжелее С2» и записывают это в виде a12 = 1,25. Таким образом, в идеальном случае точного измерения отношения между весами wi и суждениями aij выражают в виде:

w1/w1

w1/w2

w1/wn

w2/w1

w2/w2

 

w2/wn

wn/w1

wn/w2

wn/wn

 

Тем не менее нереальным было бы требование выполнения этих условий в общем случае. В большинстве практических случаев это сделало бы задачу нахождения wi (при заданных aij) неразрешимой. Во-первых, даже физические измерения никогда не бывают точными в математическом смысле, и, следовательно, отклонения должны быть приняты во внимание; во-вторых, эти отклонения достаточно велики из-за ошибок в человеческих суждениях.

Этап 2. Чтобы понять, как установить допуски на отклонения, рассмотрим i-ю строку матрицы А. Элементами этой строки являются ai1, ai2,…, aij,…, ain.

В идеальном (точном) случае эти величины не что иное, как отношения:

Следовательно,  при умножении первого элемента этой строки на w1, второго – на w2 и т.д. получим (1):

В итоге имеем строку идентичных элементов wi, wi,…, wi, тогда как в общем случае мы получили бы строку элементов, представляющих статистическое рассеивание вокруг wi. Поэтому, видимо, имело бы смысл требование равенства wi среднему этих значений. Следовательно,  вместо выражения указанного выше,в идеальном случае:

wi = aijwj (i, j = 1, 2,…, n),

более реалистичные выражения для общего случая принимают вид (2):

Несмотря на то, что условия для выражения (2) являются менее строгими, чем для выражения (1) все еще остается вопрос: достаточны ли эти условия для существования решения; т.е. гарантируется ли решаемость задачи по определению единственных весов wi при заданных aij?

Почему обоснован верхний предел 9?

Имеется несколько причин для установления верхнего предела шкалы:

  1. Качественные различия значимы на практике и обладают элементом точности, когда величина сравниваемых предметов одного порядка или предметы близки относительно свойства, использованного для сравнения.
  2. Отметим, что способность человека производить качественные разграничения хорошо представлена пятью определениями: равный, слабый, сильный, очень сильный и абсолютный. Можно принять компромиссные определения между соседними определениями, когда нужна большая точность. В целом требуется девять значений, и они могут быть хорошо согласованы; получаемая в результате шкала подтверждается практикой.
  3. Психологический предел предметов при одновременном сравнении подтверждает, что если взять отдельных предметов и если все они слегка отличаются друг от друга, то понадобится 9 точек, чтобы различить их.

Использование шкалы парных сравнений в диапазоне от 0 до может оказаться бесполезным, так как предполагает, что человеческое суждение каким-то образом способно оценить относительное превосходство любых двух объектов, что совсем не так. Как известно из опыта, наша способность различать находится в весьма ограниченном диапазоне и когда имеется значительная несоразмерность между сравниваемыми объектами или действиями, наши предположения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далекими от действительности. Пределы шкалы должны должны быть довольно близкими в диапазоне, который отражает нашу действительную возможность производить относительные сравнения. Так как единица является стандартом измерения, верхняя граница не должна быть слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена, чтобы представить наш диапазон способности различать.

Программный продукт анализа иерархий методом Т. Саати и принципы его работы

В версии 0.60 “Анализа иерархий”:

  • упрощен для удобства пользователя и доработан интерфейс программы;
  • увеличена точность вычислений.
Предлагаемый программный продукт для анализа иерархий методом Т. Саати поможет ученым, научных сотрудникам, менеджерам  автоматизировать необходимые расчеты и выбрать наиболее подходящую альтернативу.  

Загрузочной экран программы анализа иерархий Т. Саати будет первое что увидит пользователь:

Метод Саати
 
У программы удобный и понятный интерфейс.
На первом шаге необходимо выбрать размерность матрицы попарных сравнений.
 
 
Заполнять необходимо только верхний треугольник “выше 1”, нижний треугольник будет заполняться автоматически.
 
 
 
Кнопка “Start” рассчитывает значение собственного вектора по методу Т.Саати, которые необходимо сохранить – если это первый уровень иерархии, или добавить в матрицу альтернатив. 
 
 
После вычислений всех векторов второго уровня и сохранения собственного вектора первого уровня иерархии, открываем матрицу альтернатив 
 
 
Чтобы рассчитать веса альтернатив с точки зрения достижения цели, необходимо к матрице альтернатив загрузить вектор весов критериев цели и нажать на кнопку “Вычислить”.
 

 
Установка программы анализа иерархий методом Т. Саати

Для удобства пользователя программа представляет собой заархивированный исполнительный файл объемом около 3 Мб формата *.exe.



Сделано это для удобства использования, пользователю не нужно заморачиваться с установкой, созданием мобильной версией программы, ее можно с легкостью разархивировать на флешку и брать с собой. 

При запуске может появиться вот такое предупреждение  Windows, а именно Microsoft Defender, он ругается на “Неизвестного издателя”:  

Для ее решение нужно нажать “Подробнее”, а затем кнопку “Выполнить в любом случае”:

Ссылка: "Программа анализа иерархий методом Т. Саати. Версия 0.60" (17 Загрузок)

0 0 голос
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии