Лекция №4. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Пусть имеется матрица A=(a_ij) квадратная порядка n и |A|≠0.
С помощью элементарных преобразований строк матрицы A приводим ее к единичной матрице.
Тогда это можно записать в виде:

B∙A=E (1)

Такая матрица B обязательно найдется (используем леммы).
Умножая равенство (1) на 𝑨^−𝟏 справа получим:

𝑩∙(𝑨∙𝑨^−𝟏) = 𝑨^−𝟏
𝑨^−𝟏= 𝑩

Поэтому, если рассмотрим блочную матрицу:

A^′ = (A|E),

тогда при элементарных преобразованиях над матрицей A^′ получим матрицу:

(BA|BE)=(E|A^−𝟏)

Элементарными преобразованиями строк называются следующие:

умножение строки матрицы на число отличное от нуля;
умножение строки матрицы на число и прибавление к другой строке;
перестановка двух строк матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы A с помощью элементарных преобразований:

Линейное пространство

Определение. Множество L элементов x, y, z,… любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнено следующее:

I.Имеется правило, по которому любым двум элементам x и y множества L ставиться в соответствие элемент z ∈ L , который называется суммой элементов x и y и обозначается символом x + y;

II.Имеется правило, по которому любому элементу x ∈ L и любому вещественному числу λ ∈ R ставиться в соответствие элемент u ∈ L, который называется произведением элемента x на число λ и обозначается λ∙x=u;

III.Указанные операции, подчинены следующим 8 аксиомам:

x+y = y+x (коммутативность);
(x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность);
Существует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = x для ∀xϵL;
Для ∀xϵL существует противоположный элемент x^′ такой, что x+x^′=0 (будем обозначать x^′=–x)
1∙x=x для ∀xϵL;
λ(μ∙x)=(λ∙μ)x для ∀xϵL и ∀λ, μϵR ассоциативность умножения на число;
(λ+μ)x=λx+μx для ∀xϵL и ∀λ, μϵR;
λ(x+y)=λx+λy для ∀λϵR и ∀x, yϵL;

Читайте так же: Задачи на структуру числа

7 и 8 аксиомы дистрибутивности.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Множество всех векторов в трехмерном пространстве.

Пример 2. Рассмотрим множество Aⁿ, элементами которой служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел (x₁, x₂,…,x_n), т.е. Aⁿ={(x₁, x₂,…,x_n)|x₁ϵR, x₂ϵR,…, x_nϵR}

(x₁, x₂,…,x_n)+(y₁, y₂,…,y_n)=(x₁ + y₁, x₂ + y₂,…,x_n + y_n)

λ (x₁, x₂,…,x_n)=(λx₁, λx₂,…,λx_n)

Легко проверить справедливость аксиом 1 – 8.

Пример 3. Рассмотрим множество C=[a,b] всех функций x=x(t) определенных и непрерывных на отрезке [a,b]. Операции сложения таких функций и умножения на число определим обычными правилами математического анализа

(f+g)(x)=f(x)+g(x) и (λf)(x)=λf(x).

Легко проверить, что C=[a,b] является линейным пространством.

Простейшие свойства линейных пространств

Теорема 1. В произвольном линейном пространстве L существует единственный нулевой элемент и для каждого xϵL существует единственный противоположный элемент.

Теорема 2. В произвольном линейном пространстве L:

1)для всех xϵL 0∙x=0;

2)для всех xϵL -x=(-1)∙x, т.е. для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число -1.

Линейная зависимость

Рассмотрим произвольное линейное пространство L с элементами x, y, z,…, которые будем называть векторами.

Определение. Вектор y называется линейной комбинацией векторов x₁, x₂,…,x_n, если существуют такие числа λ₁, λ₂,…,λ_n, что

Определение 1. Система векторов x₁, x₂,…,x_n называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов. В противном случае система векторов x₁, x₂,…,x_n называется линейно независимой.

Пример. Если x₁ = (1,2,4), x₂ = (-1,3,2), x₃ = (0,5,6), то вектора x₁, x₂, x₃– линейно зависимы, т.к. x₃ =x₂ + x₂.

Определение 2. Система векторов x₁, x₂,…,x_n называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ₁, λ₂,…,λ_n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация:

является нулевым элементом пространства L.

Систему векторов x₁, x₂,…,x_n будем называть линейно независимой, если она не является зависимой. По законам логики запишем отрицание определения 2.

Читайте так же: Лекция №8. Векторы, операции над векторами

Определение Система векторов x₁, x₂,…,x_n называется линейно независимой, если для любой линейной комбинации равной нулю, все числа λ₁ = λ₂=…= λ_n = 0 равны нулю.

Теорема 3. Система векторов x₁, x₂,…,x_n линейно зависима по определению 2, если и только если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов.

Теорема 4. Если система векторов x₁, x₂,…,x_n линейно независимой, то и всякая ее подсистема также линейно независима.

Базис пространства

Определение: система векторов e₁, e₂,…,e_n пространства L называется базисом этого пространства, если:

система векторов e₁, e₂,…,e_n линейно независима;
для всякого элемента x∈L существуют числа a₁, a₂,…,a_n такие, что

x = a₁e₁ + a₂e₂+…+a_ne_n (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента x по базису e₁, e₂,…,e_n, а числа a₁, a₂,…,a_n – называются координатами вектора x (относительно базиса e₁, e₂,…,e_n).

Теорема 1. При сложении двух любых элементов линейного пространства L их координаты (относительно любого базиса пространства L) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число λ все координаты этого элемента умножаются на λ.

Определение. Линейное пространство L называется n – мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства L ( и обозначается символом dim⁡ L=n).

Определение. Линейное пространство L называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Определение. Линейное пространство L называется n – мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства L (и обозначается символом dim⁡ L = n).

Читайте так же: Лекция №12. Скалярное произведение векторов

Теорема 2. Если L – линейное пространство размерности n, то любые n – линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Рассмотрим произвольную (необязательно квадратную) матрицу A=(a_ij) размерности m на n.

Определение. Минором k-го порядка матрицы A называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k – фиксированных строк и k – столбцов матрицы A (k≤min⁡{n,m}).

Определение. Число r называется рангом матрицы A (будем обозначать rang A = r), если выполняются два условия:

у матрицы A имеется минор r-го порядка, отличный от нуля;
всякий минор (r + 1)-го и более высокого порядка (если таковые существуют) равен нулю.

Такой минор r-го порядка матрицы A, отличный от нуля, называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными.

Spread the love