Лекция №7. Однородная система линейных уравнений

Пусть система линейных уравнений имеет вид:

(1)

Если все свободные члены b₁, b₂,…,b_m равны нулю, то система называется однородной:

(1 од.)

Теорема 2. Пусть x₀ – какое-нибудь решение системы (1). Тогда множество всех решений системы (1) {решения (1)} = x₀ + { решения (1 од.)}, где {решения (1 од.)} множество всех решений системы (1 од.).

Теорема 3. Множество решений однородной системы линейных уравнений образуют линейное пространство.

Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений называется любой базис пространства решений этой системы.

Теорема 4. Пусть однородная система линейных уравнений приведена к виду:

где r – ранг матрицы A = (a_ij ), r < n.

1.Если D – произвольный определитель n – r порядка отличный от нуля, то беря компоненты его строк в качестве значений свободных переменных и решая каждый раз получившуюся невырожденную систему, получим n – r решений системы (2), образующих ФСР.

2.Любую фундаментальную систему решений системы (2) можно получить описанным способом из некоторого определителя отличного от нуля.

Пример. Найти ФСР и общее решение следующей системы: