Преподавание математики: специфические и междисциплинарные аспекты
Математика занимает особое место среди наук и учебных дисциплин и об этом уже многое сказано и написано. Математика как метод познания физического мира обладает исключительной мощностью и эффективностью, причем эта эффективность столь высока, что вызывает удивление у всякого, кто хоть однажды попытался найти ей какое-то разумное объяснение. Многие ученые, причем не только математики, задумывались о непостижимой эффективности математики в естественных науках и пытались дать этому какое-то разумное объяснение. Этот вопрос важен и с методической точки зрения, т.к. специфика математики как инструмента и метода познания окружающего мира накладывает отпечаток на методики преподавания математики как учебной дисциплины.
Ученым XVI-XVIII вв. ответ на вопрос, почему математика столь эффективна, казался простым и ясным. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен по математическим принципам, и принимая средневековые представления, гласившие, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как Богом, они видели в математике путь к познанию истин о природе. Превратив Бога в непогрешимого математика, средневековые мыслители отождествляли поиск математических законов природы с религиозными исканиями.
Во второй половине 18 века вера в Творца-математика изрядно потускнела. Чем успешнее развивалась математика того времени, чем многочисленнее становились ее достижения, тем в меньшей степени занятие математикой нуждалось в религиозном вдохновении. Развитие неевклидовой геометрии показало, что созданная человеком математика ничего не говорит о природе и имеет мало общего с доказательством существования Бога. Выяснилось также, что именно человек фиксирует порядок в природе, предполагаемую простоту и математическую регулярность. В эти годы Эварист Галуа так отозвался о математике: «Это наука- всего лишь одно из множества творений человеческого разума, более приспособленного к тому, чтобы изучать и искать истину, чем к тому, чтобы ее находить и познавать». Истине свойственно быть неуловимой и как сказал римский философ Луций Сенека: «природа не сразу открывает свои тайны». В последующие годы математика утратила свое место в цитадели истины, но в физическом мире она прочно удерживала свои позиции.
Мы сталкиваемся здесь с явно парадоксальной ситуацией. Чрезмерный формализм в математике приводит многих, включая и математиков, к мысли, что математика- свободный экскурс в пустоту. Однако математика подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа, физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Энштейна, позволила многое понять в строении атома.
Многие математики с готовностью соглашаются, что их наука находит необычно широкое применение, но признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Замечательная группа французских математиков, работавших под коллективным псевдонимом, Никола Бурбаки, утверждала, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует близкая взаимосвязь. Однако абсолютно неизвестно, какими причинами обусловлена эта взаимосвязь и вряд ли мы когда-нибудь узнаем. В далеком прошлом математические закономерности выводили из твердо установленных экспериментальных истин, в частности непосредственно из интуитивного восприятия пространства. Однако квантовая физика показала, что эта макроскопическая интуиция реальности охватывает и микроскопические явления совершенно иной природы, связывая их с математикой, которая заведомо была создана не как приложение к экспериментальной науке. Математику можно представить как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпирической реальности удивительно точно соответствуют этим структурам, словно последние «подогнаны» под них.
Такими структурами в математике являются числа, переменные, функции, доказательные рассуждения. Математические доказательства являются доказательными рассуждениями, а индуктивные доводы физика, косвенные улики юриста, документальные доводы историка и статистические выводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям.
Различие между этими двумя типами рассуждений велико и многообразно. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо и окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно и условно. Доказательные рассуждения пронизывают науки как раз в той же мере, что и математика, имеют жесткие стандарты, кодифицированные и выясненные математической логикой, являющейся теорией доказательных рассуждений.
Математика снискала дурную славу из-за абстракций, в которых она живет. Первая трудность, с которой сталкивается человек с улицы, когда его пытаются научить мыслить математически, состоит в том, что ему необходимо усвоить более прямой взгляд на вещи; его вера в слова должна быть поколеблена; ему необходимо научиться мыслить более конкретно и направлено.
Слова достаточно опасный инструмент, созданные для нашей повседневной жизни они обладают привычным значением лишь для известных ограниченных обстоятельств. Их роль особенно велика в гуманитарных науках. Экономику многие считают гуманитарной наукой и именно обилие слов мешает формализации в экономической науке. Но в тех разделах экономики, где удается ввести определенный формализм, удается достичь значительных продвижений. Все нобелевские премии в области экономики в последние годы это подтверждают, они присуждаются за применение математических методов и инструментария в экономике.
В начале 20 века в Германии большую роль сыграло движение за реформу преподавания математики. Во главе этого движения стоял великий математик Феликс Клейн. Это движение выдвинуло в качестве своего лозунга «функциональное мышление». Как провозгласили реформаторы, самое важное из того, чему должен научиться средний образованный человек, пройдя обучение математике — это умение мыслить в терминах переменных и функций.
Хотя звучит достаточно просто, это сложная и трудоемкая задача, которую не легко решить, учитывая объем часов выделяемых на математику в учебных планах общеобразовательных школ и сложившееся отношения учеников и учителей к этому предмету.
Математика как никакая другая наука или учебная дисциплина имеет свою внутреннюю логику и строится по определенным блокам, своего рода кирпичам, на своем фундаменте, в котором важную роль играют числа, множества и функции. Если понимать и чувствовать эту внутреннюю логику, то значительно легче воспринимать достаточно абстрактный материал этой дисциплины. Если же упустить что-то из основы, то этот предмет превращается в сложное нагромождение бесполезных абстракций.
Нельзя не согласиться со многими публикациями последних лет и мнением, что общеобразовательная школа должна быть специализированной и тот объем специальных дисциплин, который преподается в школе, не всегда оказывается востребованным в повседневной жизни. Да это имеет место быть, но кто может предсказать в начале жизненного пути, что в жизни понадобится, а что будет работать только на общее развитие, в какой области будет человек специализироваться и чем ему придется заниматься.
В этих условиях необходимо студентам не излагать математику, пересказывать какие-то математические факты, а формировать аналитическое мышление с элементами функциональности. В этом случае выпущенные вузом специалисты не будут бояться формул и математического инструментария, легче будут осваивать новые знания.
Возникает естественный вопрос: какие необходимо использовать методики преподавания математики для достижения этой цели. Однозначного ответа на этот вопрос, по-видимому, не существует. Однако, в любом случае в преподавании должны присутствовать творческое начало и элементы самостоятельной работы студентов с индивидуальными домашними заданиями по ключевым темам и заинтересованностью в результатах обучения.
